Seperti juga nombor bulat, pecahan mematuhi hukum ketertukartertiban, kesekutuan, dan ketaburan, dan hukum melarang pembahagian dengan sifar.

Membandingkan pecahan

Untuk membandingkan pecahan-pecahan yang memiliki penyebut yang sama, cuma memerlukan pembandingan pada pengangkanya.

3 4 > 2 4 {\displaystyle {\tfrac {3}{4}}>{\tfrac {2}{4}}} kerana 3>2.

Satu cara untuk membanding pecahan yang mempunyai penyebut yang berbeza ialah dengan mencari penyebut yang sama. Untuk membanding a b {\displaystyle {\tfrac {a}{b}}} dan c d {\displaystyle {\tfrac {c}{d}}} , ia ditukar menjadi a d b d {\displaystyle {\tfrac {ad}{bd}}} dan b c b d {\displaystyle {\tfrac {bc}{bd}}} . Kemudian, bd adalah penyebut yang sama dan kedua-dua pengangka ad dan bc boleh dibandingkan.

2 3 {\displaystyle {\tfrac {2}{3}}} ? 1 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}} memberikan 4 6 > 3 6 {\displaystyle {\tfrac {4}{6}}>{\tfrac {3}{6}}}

Terdapat satu jalan mudah yang dikenali sebagai "pendaraban silang", yang boleh membandingkan ad dan bc, tanpa mengira penyebutnya.

5 18 {\displaystyle {\tfrac {5}{18}}} ? 4 17 {\displaystyle {\tfrac {4}{17}}}

Darabkan 17 dengan 5 (85) dan darabkan 18 dengan 4 (72). Oleh kerana 85 adalah lebih besar daripada 72, 5 18 > 4 17 {\displaystyle {\tfrac {5}{18}}>{\tfrac {4}{17}}} .

Kaedah lain untuk membandingkan pecahan ialah dengan melihat pada pengangkanya. Jika kedua-dua pecahan memiliki pengangka yang sama, maka pecahan yang memiliki penyebut yang lebih kecil adalah pecahan yang lebih besar. Ini kerana, apabila penyebut adalah lebih besar, pengangka akan dibahagikan menjadi bahagian-bahagian yang lebih kecil.

Perlu juga diingat yang setiap nombor negatif, termasuk pecahan negatif, adalah kurang daripada sifar, dan setiap nombor positif, termasuk pecahan positif, adalah lebih daripada sifar, jadi setiap pecahan negatif adalah kurang daripada pecahan positif.[3]

Penambahan

Hukum pertama penambahan pecahan ialah cuma kuantiti serupa yang boleh ditambah; contohnya, penambahan antara kuantiti perempat. Untuk penambahan kuantiti tak serupa, seperti menambah pertiga dengan perempat, keduanya perlu ditukar menjadi kuantiti serupa terlebih dahulu. Bayangkan sebuah saku mengandungi dua perempat, dan saku yang lain mengandungi tiga perempat; jumlahnya adalah lima perempat. Oleh kerana empat perempat adalah bersamaan dengan satu, ia boleh dinyatakan seperti berikut:

2 4 + 3 4 = 5 4 = 1 1 4 {\displaystyle {\tfrac {2}{4}}+{\tfrac {3}{4}}={\tfrac {5}{4}}=1{\tfrac {1}{4}}} .Jika 1 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}} kek ditambah dengan 1 4 {\displaystyle {\tfrac {1}{4}}} kek, potongan ini perlu ditukar menjadi kuantiti serupa, seperti perlapan atau perempat.

Menambah kuantiti tak serupa

Untuk menambah pecahan yang mengandungi kuantiti tak serupa (seperti perempat dan pertiga), adalah perlu untuk menukar kesemuanya menjadi kuantiti serupa. Ia boleh dilakukan dengan mendarab penyebut setiap pecahan.

Bagi menambah perempat dengan pertiga, keduanya ditukar kepada 1 4 × 1 3 = 1 12 {\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\times {\tfrac {1}{3}}={\tfrac {1}{12}}} (perduabelas).

Lihat contoh penambahan dua kuantiti di bawah:

3 4 + 2 3 {\displaystyle {\tfrac {3}{4}}+{\tfrac {2}{3}}}

Pertama, tukar 3 4 {\displaystyle {\tfrac {3}{4}}} menjadi perduabelas dengan mendarab pengangka dan penyebut dengan tiga: 3 4 × 3 3 = 9 12 {\displaystyle {\tfrac {3}{4}}\times {\tfrac {3}{3}}={\tfrac {9}{12}}} . 3 3 {\displaystyle {\tfrac {3}{3}}} adalah bersamaan dengan 1, jadi 3 4 {\displaystyle {\tfrac {3}{4}}} adalah sama dengan 9 12 {\displaystyle {\tfrac {9}{12}}} .

Kedua, tukar 2 3 {\displaystyle {\tfrac {2}{3}}} menjadi perduabelas dengan mendarab pengangka dan penyebut dengan empat: 2 3 × 4 4 = 8 12 {\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\times {\tfrac {4}{4}}={\tfrac {8}{12}}} . 4 4 {\displaystyle {\tfrac {4}{4}}} adalah bersamaan dengan 1, jadi 2 3 {\displaystyle {\tfrac {2}{3}}} adalah sama dengan 8 12 {\displaystyle {\tfrac {8}{12}}} .

Kesimpulannya:

3 4 + 2 3 {\displaystyle {\tfrac {3}{4}}+{\tfrac {2}{3}}}

Adalah bersamaan dengan:

9 12 + 8 12 = 17 12 = 1 5 12 {\displaystyle {\tfrac {9}{12}}+{\tfrac {8}{12}}={\tfrac {17}{12}}=1{\tfrac {5}{12}}}

Kadang-kadang terdapat penyebut yang lebih kecil boleh digunakan (penyebut sepunya terkecil). Contohnya, untuk menambah 3 4 {\displaystyle {\tfrac {3}{4}}} dan 5 12 {\displaystyle {\tfrac {5}{12}}} , penyebut 48 boleh digunakan (hasil darab 4 dan 12), tetapi penyebut 12 yang lebih kecil boleh juga digunakan, yang merupakan faktor sepunya terkecil untuk 4 dan 12.

3 4 + 5 12 = 9 12 + 5 12 = 14 12 = 7 6 = 1 1 6 {\displaystyle {\tfrac {3}{4}}+{\tfrac {5}{12}}={\tfrac {9}{12}}+{\tfrac {5}{12}}={\tfrac {14}{12}}={\tfrac {7}{6}}=1{\tfrac {1}{6}}}

Kaedah ini boleh dinyatakan dalam rumus algebra:

a b + c d = a d + c b b d {\displaystyle {\tfrac {a}{b}}+{\tfrac {c}{d}}={\tfrac {ad+cb}{bd}}}

Dan untuk ungkapan yang mengandungi penambahan tiga pecahan:

a b + c d + e f = a ( d f ) + c ( b f ) + e ( b d ) b d f {\displaystyle {\tfrac {a}{b}}+{\tfrac {c}{d}}+{\tfrac {e}{f}}={\tfrac {a(df)+c(bf)+e(bd)}{bdf}}}

Penolakan

Secara dasarnya, proses penolakan pecahan adalah sama dengan penambahan; mencari penyebut sepunya, dan tukar setiap pecahan kepada pecahan setara dengan penyebut yang dipilih. Hasil tolak kedua-dua pecahan akan mempunyai penyebut tersebut, dan hasil tolak pengangka untuk pecahan asal. Contohnya,

2 3 − 1 2 = 4 6 − 3 6 = 1 6 {\displaystyle {\tfrac {2}{3}}-{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {4}{6}}-{\tfrac {3}{6}}={\tfrac {1}{6}}}

Pendaraban dan pembahagian

Mendarab dengan nombor bulat

Perhatikan contoh kek seperti di atas, jika satu perempat kek tersebut didarab dengan tiga, hasilnya ialah tiga perempat. Ia boleh digambarkan dalam pengiraan seperti berikut:

3 × 1 4 = 3 4 {\displaystyle \textstyle {3\times {1 \over 4}={3 \over 4}}\,\!}

Contoh lain, katakan terdapat lima orang bekerja untuk tiga jam bagi setiap tujuh jam waktu bekerja (tiga pertujuh jam waktu bekerja). Secara keseluruhan, mereka bekerja 15 jam (5 x 3 jam seorang), atau 15 pertujuh sehari. Oleh kerana 7 pertujuh bersamaan dengan 1 hari bekerja dan 14 pertujuh bersamaan dengan 2 hari bekerja, jumlah waktu bekerja untuk kelima-lima perkerja adalah 2 hari dan satu pertujuh jam dalam sehari. Dalam pengiraan:

5 × 3 7 = 15 7 = 2 1 7 {\displaystyle \textstyle {5\times {3 \over 7}={15 \over 7}=2{1 \over 7}}\,\!}

Mendarab dengan pecahan

Perhatikan contoh kek seperti di atas, jika satu perempat kek didarab dengan satu pertiga kek, hasilnya ialah satu perduabelas kek. Dalam erti kata lain, satu pertiga dari satu perempat (atau satu pertiga darab satu perempat) ialah satu perduabelas. Kenapa? kerana setiap bahagian satu perempat telah dipotong menjadi 3 bahagian, dan empat bahagian kek didarab dengan tiga akan menjadi 12 bahagian (atau perduabelas). Ini boleh dinyatakan dalam pengiraan seperti berikut:

1 3 × 1 4 = 1 12 {\displaystyle \textstyle {{1 \over 3}\times {1 \over 4}={1 \over 12}}\,\!}

Untuk contoh lain, katakan terdapat lima orang yang melakukan kerja yang sama dalam jumlah masa tiga jam daripada tujuh jam waktu bekerja. Setiap orang akan melakukan satu perlima dari 3 jam tersebut, menjadikan jam bekerja mereka satu perlima dari tiga pertujuh dalam sehari. Dalam pengiraan:

1 5 × 3 7 = 3 35 {\displaystyle \textstyle {{1 \over 5}\times {3 \over 7}={3 \over 35}}\,\!}

Secara umumnya, apabila pecahan didarab, kedua-dua pengangka akan didarab untuk menghasilkan pengangka yang baru, dan kedua-dua penyebut akan didarab untuk menghasilkan penyebut yang baru. Contohnya:

5 6 × 7 8 = 5 × 7 6 × 8 = 35 48 {\displaystyle \textstyle {{5 \over 6}\times {7 \over 8}={5\times 7 \over 6\times 8}={35 \over 48}}\,\!}

Apabila mendarab (atau membahagi), kaedah pemansuhan silang untuk nombor yang mempunyai faktor sepunya, boleh dilakukan. Contohnya:

2⁄7 X 7⁄8 = 2 1⁄7 1 X 7 1⁄8 4 = 1⁄1 X 1⁄4 = 1⁄4

Nombor dua adalah faktor sepunya untuk pengangka pecahan kiri dan penyebut pecahan kanan, jadi kedua-duanya dibahagikan dengan dua. Manakala nombor tujuh adalah faktor sepunya untuk penyebut pecahan kiri dan pengangka pecahan kanan, dan kedua-duanya dibahagikan dengan tujuh.

Nombor bercampur

Apabila mendarab nombor bercampur, adalah lebih mudah jika nombor bercampur itu ditukar menjadi pecahan tak wajar. Contohnya:

3 × 2 3 4 = 3 × ( 8 4 + 3 4 ) = 3 × 11 4 = 33 4 = 8 1 4 {\displaystyle \textstyle {3\times 2{3 \over 4}=3\times \left({{8 \over 4}+{3 \over 4}}\right)=3\times {11 \over 4}={33 \over 4}=8{1 \over 4}}\,\!}

Dalam erti kata lain, 2 3 4 {\displaystyle \textstyle {2{3 \over 4}}} adalah sama dengan ( 8 4 + 3 4 ) {\displaystyle \textstyle {({8 \over 4}+{3 \over 4})}} , menghasilkan jumlah 11 perempat (kerana 2 kek, setiap satu dipotong kepada empat bahagian, menjadikan jumlah keseluruhan 8 perempat (bahagian).) dan 33 perempat adalah sama dengan 8 1 4 {\displaystyle \textstyle {8{1 \over 4}}} (kerana 8 kek, setiap satunya dipotong empat, menjadikan jumlah keseluruhan 32 perempat (bahagian).).

Pembahagian

Untuk membahagi dengan satu pecahan yang lain, cuma darabkan dengan salingan pecahan tersebut (diterbalikkan).

5 ÷ 1 2 = 5 × 2 1 = 5 × 2 = 10 {\displaystyle \textstyle {5\div {1 \over 2}=5\times {2 \over 1}=5\times 2=10}} 2 3 ÷ 2 5 = 2 3 × 5 2 = 10 6 = 5 3 {\displaystyle \textstyle {{2 \over 3}\div {2 \over 5}={2 \over 3}\times {5 \over 2}={10 \over 6}={5 \over 3}}}

Untuk memahami bagaimana ia dilakukan, lihat keterangan berikut:

6 inci dibahagikan dengan 3 inci = 2 ,bermaksud kita boleh bahagikan 6 inci kepada 2 bahagian yang berukuran 3 inci setiap satu.6 batu dibahagikan dengan 3 batu = 2, bermaksud kita boleh bahagikan 6 batu kepada 2 bahagian yang berukuran 3 batu setiap satu.6/2 dibahagikan dengan 3/2 = 2, bermaksud kita boleh bahagikan 6/2 kepada 2 bahagian yang bersaiz 3/2 setiap satu.

Untuk pembahagian pecahan-pecahan yang mempunyai penyebut yang sama, cuma bahagikan pengangkanya sahaja dan buangkan penyebutnya. Tapi bagaiman jika pecahan-pecahan itu memiliki penyebut yang berbeza?

Penyelesaiannya ialah, cari penyebut sepunya dan bahagikan pengangkanya, seperti dalam rumus berikut:

a b ÷ c d = a d b d ÷ b c b d = a d b c . {\displaystyle \textstyle {{a \over b}\div {c \over d}={ad \over bd}\div {bc \over bd}={ad \over bc}.}} Bagaimanpun, kaedah ini adalah terlalu panjang. Sebaliknya, kaedah "balik dan darab" yang memberikan jawapan yang sama, adalah lebih ringkas. a b ÷ c d = a b × d c = a d b c . {\displaystyle \textstyle {{a \over b}\div {c \over d}={a \over b}\times {d \over c}={ad \over bc}.}}

Ini adalah satu bukti matematik untuk pembahagian menggunakan kaedah balik dan darab.

• Teorem

a b ÷ c d = a d b c . {\displaystyle \textstyle {{a \over b}\div {c \over d}={ad \over bc}.}}

• Bukti

Diketahui yang pembahagian didefinasikan sebagai kebalikan pendaraban. Iaitu, m ÷ n = q {\displaystyle \textstyle {m\div n=q}} jika dan hanya jika n × q = m . {\displaystyle \textstyle {n\times q=m}.} Dalam ungkapan yang kita mahu buktikan, darabkan pembahagi dengan hasil bahagi c d × a d b c = a c d b c d {\displaystyle \textstyle {{c \over d}\times {ad \over bc}={acd \over bcd}}} yang kemudian dimudahkan menjadi a b {\displaystyle \textstyle {a \over b}} .Jadi, a b ÷ c d = a d b c . {\displaystyle \textstyle {{a \over b}\div {c \over d}={ad \over bc}.}}

Cara lain untuk memahaminya adalah seperti berikut:

Soalan, adakah a b ÷ c d = a b × d c {\displaystyle \textstyle {{\frac {a}{b}}\div {\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\times {\frac {d}{c}}}} Diberi/DiterimaI. Sebarang nombor yang dibahagikan dengan dirinya adalah bersamaan dengan satu (contoh: d d = 1 1 {\displaystyle \textstyle {{\frac {d}{d}}={\frac {1}{1}}}} )II. Apabila satu nombor didarabkan dengan satu, ia tidak berubah (contoh: a b × 1 1 = a b × d d = a b {\displaystyle \textstyle {{\frac {a}{b}}\times {\frac {1}{1}}={\frac {a}{b}}\times {\frac {d}{d}}={\frac {a}{b}}}} )III. Jika dua pecahan memiliki penyebut sepunya, pengangkanya boleh dibahagikan untuk mendapatkan hasil bahagi (contoh: a d b d ÷ b c b d = a d ÷ b c {\displaystyle \textstyle {{\frac {ad}{bd}}\div {\frac {bc}{bd}}=ad\div bc}} )Bukti1. a b ÷ c d {\displaystyle \textstyle {{\frac {a}{b}}\div {\frac {c}{d}}}} , Masalah2. a d b d ÷ b c b d {\displaystyle \textstyle {{\frac {ad}{bd}}\div {\frac {bc}{bd}}}} , darabkan pecahan pertama dengan d d {\displaystyle \textstyle {\frac {d}{d}}} dan pecahan kedua dengan b b {\displaystyle \textstyle {\frac {b}{b}}} , yang sama dengan pendaraban dengan satu, dan seperti yang diterima di atas (I & II) tidak mengubah nilai pecahan tersebut.Nota: Nilai satu dipilih untuk mendapatkan penyebut sepunya untuk pecahan tersebut; bd adalah penyebut sepunya.3. a d b d ÷ b c b d = a d ÷ b c {\displaystyle \textstyle {{\frac {ad}{bd}}\div {\frac {bc}{bd}}=ad\div bc}} , dari apa yang diberi dalam (III)4. a d ÷ b c = a d b c {\displaystyle \textstyle {ad\div bc={\frac {ad}{bc}}}} , tatatanda berubah5. a d b c = a b × d c {\displaystyle \textstyle {{\frac {ad}{bc}}={\frac {a}{b}}\times {\frac {d}{c}}}} , boleh dilihat6. a b × d c {\displaystyle \textstyle {{\frac {a}{b}}\times {\frac {d}{c}}}} , penyelesaian

Sekitar 4,000 tahun dahulu, orang Mesir purba membahagi pecahan menggunakan kaedah yang sedikit berbeza. Mereka menggunakan gandaan sepunya terkecil dengan pecahan unit. Kaedah ini memberikan jawapan yang sama seperti kaedah moden kita.[4]

Menukar nombor perpuluhan berulang menjadi pecahan

Walaupun nombor perpuluhan lebih berguna apabila melakukan pengiraan, ia tidak memiliki ketepatan seperti yang ada pada pecahan biasa. Kadang-kadang, nombor perpuluhan tak terhingga digunakan untuk mendapatkan ketepatan yang sama. Jadi, adalah lebih berguna jika nombor perpuluhan berulang ditukar menjadi pecahan.

Untuk corak pengulangan yang coraknya bermula selepas titik perpuluhan, pembahagian ringkas corak tersebut dengan nombor sembilan (bergantung pada jumlah nombor dalam corak tersebut), dapat menyelesaikan masalah ini. Contohnya (corak pengulangan ditebalkan):

0.555555555555… = 5/90.626262626262… = 62/990.264264264264… = 264/9990.629162916291… = 6291/9999

Jika nombor sifar mendahului corak pengulangan selepas titik perpuluhan, nombor sembilan akan diakhiri dengan bilangan sifar yang sama:

0.0555… = 5/900.000392392392… = 392/9990000.00121212… = 12/9900

Dalam kes terdapat nombor perpuluhan yang tidak berulang mendahului corak pengulangan (seperti 0.1523987987987…), asingkan nombor tidak berulang dan nombor berulang dalam penambahan seperti berikut:

0.1523 + 0.0000987987987…

Kemudian, tukar kedua-duanya menjadi pecahan. Oleh kerana bahagian pertama tidak mempunyai corak berulang, ia tidak boleh ditukar mengikut corak yang diberi di atas:

1523/10000 + 987/9990000

Tambahkan kedua-dua pecahan dengan mencari penyebut sepunya...

1521477/9990000 + 987/9990000

Tambahkan keduanya menjadi

1522464/9990000

Akhir sekali, mudahkan hasilnya:

31718/208125